摘要：用空間嚙合理論建立了內齒輪剃齒時展成干涉校核的數學模型，并給出了展成干涉與內齒輪和剃齒刀的齒數差、軸交角以及內齒輪的變位系數 間的關系。該模型不僅可用于 內齒輪剃齒時的展成干涉校核，也為交錯軸螺旋齒輪 內嚙合傳動的干涉校核提供了方法。 關鍵詞：空間嚙合理論 內齒輪 剃齒 干涉校核 引言 內齒輪剃齒，可視為空間螺旋齒輪嚙合傳動來研究：當內螺旋齒輪嚙合傳動時，可能產生三種干涉。一是小齒輪的齒頂和內齒輪的齒根過渡線產生干涉；二是內齒輪的齒頂和小齒輪輪齒齒根的過渡曲線產生干涉；三是小齒輪輪齒在脫離嚙合之前與內齒輪齒頂相碰，而產生嚙合干涉。但在內齒輪剃齒前，經過剃前插齒后齒根部分已有少量沉割，因此一般不會產生第一種干涉。又因作為小齒輪的剃齒刀在齒根處均設計有退刀孔，所以亦不會產生第二種干涉。內齒輪剃齒時，唯一可能產生的是第三種干涉。本文稱這種干涉為展成干涉，并就這種干涉進行分析和討論。 和內齒輪插齒不同，內齒輪剃齒是按交錯軸螺旋齒輪傳動原理來加工的，無法將其視為某一截面內的平面嚙合傳動來研究。兩輪的相對運動為沿轉動一滑動軸的螺旋運動-引，因此無法借鑒內齒輪插齒時展成干涉的分析方法，必須建立新的數學模型來研究內齒輪剃齒時的展成干涉問題。 1數學模型 如圖1所示建立坐標系，其中S[sub]0[/sub]（o[sub]0[/sub]-x[sub]0[/sub]y[sub]0[/sub]z[sub]0[/sub]）為工件靜止坐標系，o[sub]0[/sub]軸與工件軸線重合；S[sub]2[/sub]（[sub]2[/sub]-x[sub]2[/sub]y[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]）為與工件固聯的運動坐標系，o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸與o[sub]0[/sub]z[sub]0[/sub]軸重合：S（0-xyz）為剃齒刀靜止坐標系，oz軸與剃齒刀軸線重合，ox軸與o[sub]0[/sub]x[sub]0[/sub]軸共線；S[sub]1[/sub]（o[sub]1[/sub]-x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]）為與剃齒刀固聯的運動坐標系，0[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]軸與oz軸重合。工件系與刀具系的原點相距為α，工件軸線與刀具軸線的交角為Σ。令剃齒刀隨運動坐標系S[sub]1[/sub]繞0[sub]1[/sub]z[sub]1[/sub]軸轉過角Φ[sub]1[/sub]，此時內齒輪隨其運動坐標系S[sub]2[/sub]繞0[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸轉過Φ[sub]2[/sub]角：若剃齒刀與內齒輪的傳動比為i[sub]12[/sub]，則 式中 z[sub]1[/sub] ——剃齒刀齒數 z[sub]2[/sub] ——內齒輪齒數 由圖 1可得內齒輪運動坐標系 S[sub]2[/sub] 與剃齒刀運動坐標系 S[sub]1[/sub] 間的轉換關系[3] 式中，為坐標轉換矩陣， 可寫成 若要求在刀具運動坐標系S[sub]1[/sub]的 o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面內的某點與工件運動坐標系S[sub]2[/sub]間的轉換關系，可令 將式（3），式（4），式（5），式（6）及式（7）代入式（2），經矩陣乘法運算并整理后有 式（8）給出了刀具運動坐標系 S[sub]1[/sub]中的o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面內的坐標與工件運動坐標系 52間坐標的轉換關系。若在 S[sub]2[/sub]中的 o[sub]1[/sub]- x[sub]1[/sub]y[sub]1[/sub]平面中給出某一固定點，式（8）便表示該點在 S[sub]2[/sub]中的運動軌跡曲線。 如圖 2所示，在刀具運動坐標系 S[sub]1[/sub]中過原點 O[sub]1[/sub]作一剃齒刀端截面，在此截面中刀齒頂點 Q的坐標可寫成 把式（9）代入式（8）便得到剃齒刀齒頂p點在工件運動坐標系S[sub]2[/sub]中的軌跡曲線方程。 設內齒輪為直齒輪，如圖3所示在工件運動坐標系 S[sub]2[/sub]中，過內齒輪輪齒頂點 B點和 o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸作平面該平面σ，方程可寫成 剃齒時，在坐標系S[sub]2[/sub]內剃齒刀齒頂 Q點的運動軌跡曲線必與平面σ相交，如圖4所示，設交點為 E。 為求交點的坐標值，可將式（9）代入式（8），再把式（8）代入式（10）并整理后有 考慮到Φ[sub]1[/sub]=i[sub]12[/sub]Φ[sub]2[/sub] ，式（11）為含參數Φ[sub]2[/sub] 的超越方程，可用數值方法求解。再把求得的 Φ[sub]2[/sub] 、Φ[sub]1[/sub] 值代回式（8）便可求得交點 E的坐標值 （x[sub]2E[/sub] ，Y[sub]2E[/sub] ， z[sub]2E[/sub] ）。設E點到o[sub]2[/sub]z[sub]2[/sub]軸的距離為 L，則 若L與內齒輪頂圓半徑R[sub]φ2[/sub]的差值用ΔR表示，則 由式（12）的值可判別剃齒時內齒輪和剃齒刀是否發生展成干涉 。 2 中心距a與軸交角Σ的計算 在進行上述干涉校核之前，必須計算所用的剃齒刀與被加工內齒輪嚙合傳動時的軸交角Σ和中心距a。為此，過ox軸作法剖面，則由交錯軸傳動的無側隙嚙合方程有 當內齒輪為直齒β[sub]2[/sub]=0。將式（14），式（15）， 式（16）代入式（13）并整理后有 把式（18）代入式（17）后 ，式（17）為含未知數的超越方程，可用數值方法求解。解出后，內齒輪的節圓半徑為 剃齒刀的節圓半徑為 由式（19）、式（20）可得中心距a為 3 計算例 所用內齒輪和剃齒刀的基本參數為內齒輪：模數m=4，分度圓壓力角 α[sub]2[/sub]=20[sup]o[/sup]，分度圓螺旋角β[sub]2[/sub]=0，齒 數 z[sub]2[/sub]=70，齒頂高系數f=1，變位系數ξ[sub]2[/sub]=0.5，分度圓留剃余量δ=0；剃齒刀：法向模數m[sub]n[/sub] =4，法向壓力角α[sub]n[/sub]=20[sup]o[/sup]，分度圓螺旋角 β[sub]1[/sub]=5[sub]o[/sub],齒數 z[sub]1[/sub]=41。 為研究各種參數（如齒數差 ΔZ，軸交角Σ ，變位系數ξ[sub]2[/sub]）對展成干涉可能性的影響，在保持上述其余參數不變的情況下 ，改 變內齒輪的齒數 z[sub]2[/sub]，從而改變了內齒輪和剃齒刀的齒數差，計算出一系列的Δ尺值，并繪制成如圖 5所示的曲線。同樣，保持其他參數不變，僅改變內齒輪的變位系數，計算出一系列的Δ尺值，繪制成如圖 6所示的曲線。圖 7表示軸交角Σ和ΔR的關系曲線。 4 分析與討論 由圖5可看出，當內齒輪和剃齒刀的齒數差少于或等于9時，將發生展成干涉。并且由以上的計算結果可知內齒輪剃齒時的展成干涉不僅與內齒輪和剃齒刀的齒數差有關，還與內齒輪的變位系數以及剃齒時的軸交角有關。增大內齒輪和剃齒刀的齒數差，可使發生展成干涉的可能性減少。同樣，增大內齒輪的變位系數也可使發生展成干涉的可能性減少。而且在剃齒時，加大軸交角亦可減少發生展成干涉的可能性。 參考文獻 1 四川省機械工業局 ．齒輪刀具設計理論基礎（上）．北京：機械工業 出版社，1982 2 袁哲俊等．齒輪刀具設計（上）．北京：新時代出版社，1983 3 姚南同等．數學在刀具設計中的應用，北京：機械工業出版社，1988 4 吳序堂．齒輪嚙合原理．北京：機械工業出版社，1982